Inhoudsopgave
Advertenties
x" of d1z(x(t),y(t)) = ∂z/∂x. Dan geldt ook d2z(x(t),y(t)) = ∂z/∂y. De
bovenstaande uitdrukking kan dus worden geïnterpreteerd als:
dz/dt = (dy/dt)
Differentiaaltotale van een functie z = z(x,y)
Uit de laatste vergelijking, als we vermenigvuldigen met dt, krijgen we de
differentiaaltotale van de functie z = z(x,y), dus dz = (∂z/∂x)⋅dx + (∂z/∂y)⋅dy.
Een andere versie van de kettingregel is van toepassing als z = f(x,y), x =
x(u,v), y = y(u,v), dus z = f[x(u,v), y(u,v)]. De volgende formules geven de
kettingregel voor deze situatie aan:
z
z
u
x
Uiterste waarden in functies van twee variabelen bepalen
Als de functie z = f(x,y) een uiterst punt (extrema) bij (x
moeten de afgeleiden ∂f/∂x en ∂f/∂y op dit punt verdwijnen. Dit zijn
noodzakelijke voorwaarden. De toereikende voorwaarden waarbij de functie
uiterste waarden bij punt (x
⋅
2
2
2
2
2
(∂
f/∂x
)
(∂
f/∂y
)-[∂
f/∂x∂y]
2
2
∂
< 0, of een relatief minimum als ∂
f/∂x
gezien als de discriminant.
⋅
2
2
2
Als ∆ = (∂
f/∂x
)
(∂
f/∂y
een zadelpunt noemen, waarbij de functie een maximum in x bereikt als we y
constant houden, terwijl we een minimum krijgen als we x constant houden, of
andersom.
Voorbeeld 1 – Bepaal de uiterste waarden (als deze er zijn) van de functie
3
2
f(X,Y) = X
-3X-Y
+5. We definiëren eerst de functie f(X,Y) en de afgeleiden
⋅
(∂z/∂y) + (dx/dt)
x
z
y
z
,
u
y
u
v
) heeft, zijn ∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0 en ∆ =
,y
o
o
2
> 0. Het punt (x
,y
o
2
f/∂x
2
2
2
)-[∂
f/∂x∂y]
< 0 bestaat er een voorwaarde die we
∂z/∂x).
⋅(
z
x
z
y
x
v
y
v
,y
) moet hebben,
o
o
) is een relatief maximum als
o
2
> 0. De waarde ∆ wordt
Blz. 14-5
Advertenties
Inhoudsopgave
